Materi Trigonometri

MATERI TRIGONOMETRI

KELAS X SMA

A.     Ukuran Sudut

1.       Ukuran Derajat

Besar sudut dalam satu putaran adalah 360°. Berarti 1°= 1/360 putaran. Ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat adalah menit ( ‘ ) dan detik ( “ ).

Hubungan ukuran sudut menit, detik, dan derajat adalah:

2.       Ukuran Radian

Satu radian adalah besar sudut pusat busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.

3.       Hubungan Derajat dengan Radian

Untuk mengubah sudut sebesar 𝛉 ke dalam satuan radian, menggunakan rumus:

Dan untuk mengubah sudut sebesar X radian ke dalam satuan derajat, menggunakan rumus:

Contoh Soal

1.       Nyatakan sudut 0,65 radian dalam satuan derajat!

Jawab :

2.       Nyatakan sudut 154° ke satuan radian!

Jawab:

3.       Suatu lingkaran memiliki panjang busur 15 cm dan dengan sudut pusat 45°, carilah jari-jari lingkaran tersebut!

Jawab:

Kita harus merubah 𝛉= 45° ke dalam bentuk radian.

B.     Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku

Perhatikanlah gambar berikut!

Jika dipandang dari sudut 𝛉, maka sisi BC disebut sisi depan, sisi AB disebut sisi samping, dan sisi AC disebut sisi miring.

Jika sisi AB = x, sisi BC = y, dan sisi AC = r, maka

Contoh soal

1.       Perhatikan gambar berikut!

Diketahui panjang AC = 9 cm, dan panjang AB = 12 cm, dengan sudut b = 𝛉. Tentukan nilai dari sin 𝛉, cos 𝛉, dan tan 𝛉!

Pemecahan:

2.       Jika sin 15°= y. Tentukan nilai trigonometri berikut dalam y!

a.       Cos 15°

b.       Tan 15°

c.       Sin 75°

d.       Cos 75°

e.       Tan 75°

f.        Cosec 15°

g.       Cotan 75°

h.       Sec 75°

Pemecahan:

a.       Cos 15°

b.       Tan 15°

c.       Sin 75°

d.       Cos 75°

e.       Tan 75°

f.        Cosec 15°

g.       Cotan 75°

h.       Sec 75°

3.       Jawablah pertanyaan berikut!

a.       Diketahui  , tentukanlah nilai dari sin α, tan α, dan cosec α!

b.       Tentukan nilai dari

Pemecahan:

a.       Diketahui  

b.       Nilainya adalah

C.     Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi

Dalam satu putaran, yaitu 360°, sudut dibagi menjadi empat relasi, yaitu:

1.       Kuadran I            : 0°≤ α ≤ 90°

2.       Kuadran II          : 90° < α ≤ 180°

3.       Kuanran III        : 180° < α ≤ 270°

4.       Kuadran IV         : 270° < α ≤ 360°

Perhatikan gambar berikut!

1.       Perbandingan Trigonometri Sudut di Kuadran I

Pada ∆ AOC, berlaku:

Pada ∆ BOC, berlaku:

2.       Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kuadran II

Pada ∆ AOC, berlaku: ∠α = 180°- 𝛉

3.       Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kuadran III

Pada ∆ AOC berlaku: ∠ AOP = α

4.       Perbandingan Trigonometri Pada Sudut Kadran IV

sin (360° - 𝞪) = - sin 𝞪

cos (360° - 𝞪) = cos 𝞪

tan (360° - 𝞪) = - tan 𝞪

cosec (360° - 𝞪) = - cosec 𝞪

sec (360° - 𝞪) = sec 𝞪

cotan (360° - 𝞪) = - cotan 𝞪

5.       Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360° atau Sudut Negatif

a.       Perbandingan Trigonometri Untuk Sudut Diatas 360°

Sin (k × 360° + 𝞪) = sin 𝞪

Cos (k × 360° + 𝞪) = cos 𝞪

tan (k × 360° + 𝞪) = tan 𝞪

cosec (k × 360° + 𝞪) = cosec 𝞪

sec (k × 360° + 𝞪) = sec 𝞪

cotan (k × 360° + 𝞪) = cotan 𝞪

Keterangan:

k = banyaknya putaran, dengan nilai k adalah bilangan bulat positif.

b.       Perbandingan Trigonometri Sudut Negatif

Sin (- 𝞪) = -sin 𝞪

Cos (-𝞪) = cos 𝞪

tan (-𝞪)  = -tan 𝞪

cosec (-𝞪) = -cosec 𝞪

sec (-𝞪) = sec 𝞪

cotan (-𝞪) = -cotan 𝞪

Contoh Soal

1.       Nyatakan sudut berikut kedalam perbandingan trigonometri sudut lancip positif!

a.       Sin 175°

b.       Cos 325°

c.       Sec (-225°)

d.       Tan 780°

e.       Sin 3500°

Pemecahan:

2.       Diketahui sin 35° = 2k, nyatakan trigonometri sudut berikut dalam k!

a.       Sin 55°

b.       Cos (-215°)

c.       Tan 125°

d.       Cosec 935°

e.       Sin 665°

Pemecahan:

D.    Persamaan Trigonometri sin x = sin α, cos x = cos α, dan tan x = tan α

1.       Jika sin x = sin α, maka x = α + k . 360° atau x = (180° - α) + k . 360°

2.       Jika cos x = sin α, maka x = α + k . 360° atau x = (360° - α) + k . 360° = -α + k . 360°

3.       Jika tan x = tan α, maka x = α + k . 180°

Contoh Soal

1.       Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut!

a.       Sin x = sin ⅚ 𝛑, 0 ≤ x ≤ 2𝛑

b.       Tan x = tan ⅓𝛑, 0 ≤ x ≤ 2𝛑

c.       Cos x = cos 150°, 0° ≤ x ≤ 360°

Pemecahan:

a.       Sin x = sin ⅚ 𝛑, 0 ≤ x ≤ 2𝛑

Himpunan penyelesaian = {⅚ ,⅙𝛑}

b.       Tan x = tan ⅓𝛑, 0 ≤ x ≤ 2𝛑

Himpunan penyelesaian={⅓𝛑 ,4/3 𝛑}

c.       Cos x = cos 150°, 0° ≤ x ≤ 360°

Himpunan penyelesaian= {150°,210°}

2.       Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut!

a.       Sin x = cos 300°, 15°≤ x ≤ 360°

b.       Cos x = cotan 135°, 0°≤ x ≤ 360°

c.       Tan x = sin 0°, 180°≤ x ≤ 360°

d.       Cos 3x = cos 180°, 0° ≤ x ≤ 360°

e.       Sin (30°+x) = sin 75°, 0°≤ x ≤ 270°

f.        Sin (4x+38°) = sin 173°, 0° ≤ x ≤ 360°

g.       Tan x = ⅓√3, 0 ≤ x ≤ 2𝛑

Pemecahan:

a.       Sin x = cos 300°, 15°≤ x ≤ 360°

Himpunan penyelesaian={30°,150°}

b.       Cos x = cotan 135°, 0°≤ x ≤ 360°